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5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

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Transformaciones lineales Las transformaciones lineales forman un “hilo” que se entreteje en la tela de este texto. Su utilización mejora el sentido geométrico de lo escrito. Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, expansión, contracción y rotación:   1.     Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual.   2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un cierto grado. Es c
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5.3 Representación matricial de una transformación lineal.

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 Que es la representación matricial Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión n y m, respectivamente, y sea T: V à W una transformación lineal, entonces existe una matriz A de orden m × n llamada matriz de transformación o representación matricial de T que satisface T(v) = Av para toda v en V. Una representación alternativa que, pese a su relativo desconocimiento, resulta muy útil es la matricial. La representación tradicional de un grafo consiste en un conjunto de puntos que representan los nodos unidos por unas líneas que unen aquellos nodos relacionados. No obstante, cuando el número de nodos se empieza a hacer elevado (por encima de unos 20 nodos y 20-30 enlaces para algunos autores), los problemas de oclusión entre enlaces e incluso entre los propios nodos comienzan a prevalecer y hacen muy difícil la comprensión y la interacción con la representación.
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5.2 Núcleo e imagen de la transformación linea

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  1. Objetivo. Definir el núcleo y la imagen de una transformación lineal, ver la relación con las propiedades invectiva y sobrayectiva, estudiar ejemplos. 2. Requisitos: transformación lineal, nociones generales de una aplicación, imagen de un conjunto bajo una aplicación, pre imagen de un conjunto bajo una aplicación. 3. Definición (imagen de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W). La imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicación T: im (T):= {y ∈ W: ∃ x ∈ V tal que y = T(x)}. 4. Definición (núcleo de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W). El núcleo (kernel, espacio nulo) de T se define como la pre imagen completa del vector nulo: ker (T):= {x ∈ V: T(x) = 0}. 5. Proposición (núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F, T ∈ L (V, W). Entonces ker (T
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5.1 Definición de transformación lineal

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  Definición de transformación lineal  En primer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su  d ominio y su codo minio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales  V V  y  W W , y una función que va de  V V  a  W W . O sea una regla de asignación que transforma vectores de  V V  en vectores de  W W . Pero no toda función que transforme vectores de  V V  en vectores de  W W  es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones: F : V → W F : V → W  es una transformación lineal si y sólo si: F ( u + v ) = F ( u ) + F ( v )         ∀ u , v ∈ V F ( u + v ) = F ( u ) + F ( v )         ∀ u , v ∈ V F ( k . v ) = k . F ( v )               ∀ v ∈ V ,     ∀ k ∈ Propiedades de transformación lineal Propiedad 1 La imagen del vector nulo del dominio  0 V 0 V  es el vector nulo del codo minio  0 w 0 w : T ( 0 V ) = 0 w T ( 0 V ) = 0 w Demostración: T ( 0 V ) = T ( 0. v ) = 0. T ( v ) = 0. w = 0 W T ( 0 V ) = T
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