5.2 Núcleo e imagen de la transformación linea

 

1. Objetivo. Definir el núcleo y la imagen de una transformación lineal, ver la relación con las propiedades invectiva y sobrayectiva, estudiar ejemplos.

2. Requisitos: transformación lineal, nociones generales de una aplicación, imagen de un conjunto bajo una aplicación, pre imagen de un conjunto bajo una aplicación.

3. Definición (imagen de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W). La imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicación T: im (T):= {y ∈ W: ∃x ∈ V tal que y = T(x)}.

4. Definición (núcleo de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W). El núcleo (kernel, espacio nulo) de T se define como la pre imagen completa del vector nulo: ker (T):= {x ∈ V: T(x) = 0}.

5. Proposición (núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F, T ∈ L (V, W). Entonces ker (T) es un subespacio de V.

6. Proposición (imagen de una transformación lineal es un subespacio vectorial del codominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F, T ∈ L (V, W). Entonces im (T) es un subespacio de W.

7. Ejemplo (transformación nula). La transformación nula 0: V → W está definida mediante la fórmula 0(v) = 0W ∀v ∈ V. Es fácil ver que ker (0) = V, im (0) = {0W}.

8. Ejemplo (transformación identidad). La transformación identidad I: V → V está definida mediante la fórmula I (v) = v ∀v ∈ V. Obviamente ker (I) = {0}, im (I) = V.

9. Ejemplo (transformación D). Consideremos el operador D: Pol n(R) → Pol n(R), Df = f 0. Entonces im(A) = Poln−1 (F), ker(A) = Pol 0(F).

10. Ejemplo (proyección en V 2 (O)). Sea P el operador de proyección sobre `1 paralelamente a `2. Entonces ker (P) = `2, im (P) = `1.

12. Ejercicio. Sean V, W, X espacios vectoriales sobre un campo F y sean T ∈ L(V, W), U ∈ L(W, X). Demuestre que im (UT) ⊆ im (U), ker (T) ⊆ ker (UT).

13. Observación (sobreyectividad en términos de la imagen). Por definición, T: V → W es sobre ⇐⇒ im (T) = W.

14. Ejercicio. Sean V, W, X espacios vectoriales sobre un campo F y sean T ∈ L (V, W), U ∈ L (W, X). Demuestre que:

1. Si el producto UT es una transformación sobreyectiva, entonces U también es sobreyectiva.

2. Si el producto UT es una transformación inyectiva, entonces T también es inyectiva.

15. Teorema (criterio de inyectividad en términos de los núcleos). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F, T ∈ L (V, W). Entonces: T es inyectiva ⇐⇒ ker (T) = {0}.